学位论文简介

随着科学技术的不断进步和问题复杂度的增加，面向行业应用的高精度、高效能的科学计算技术的研究已成为科研和工程的焦点，而传统的计算方法在处理复杂问题时面临着精度和效率的瓶颈。因此本文基于误差分析理论、无误差变换技术、双倍双精度算术运算以及混合精度计算等技术手段，开发了一系列高精度高效率的算法。做出了以下贡献：

(1) 针对多项式评估算法存在的求解不精确的问题，本文提出了一种复数浮点运算中多项式求解的补偿Goertzel算。然后，对补偿Goertzel算法进行了舍入误差和复杂度分析，进一步提出了一种具有动态误差估计的补偿Goertzel算法。最后，误差分析和数值实验表明该算法的相对误差小于等于工作精度，并且表现出非常稳定的特性。

(2) 针对传统的奇异值求解算法在处理病态矩阵和大规模矩阵时存在结果不精确或计算时间长的问题，本文提出了一种高精度DQDS算法，降低误差的累积。然后，对DQDS算法和高精度DQDS算法的内循环进行了误差分析，以及设计了double-double版本的DQDS算法用于性能对比。其次，提出了一种高效率DQDS算法，提高计算效率。最后，提出了一个矩阵奇异值求解的多模式计算框架。通过实验验证了所提出的算法优于原始算法，具有可信性和高效性。

(3) 针对大型稀疏线性方程组求解过程中存在的舍入误差积累和运行效率低的问题，本文提出了高精度的SpMV、GMRES、PCG和BiCGSTAB算法，使输出结果更加精确和稳定。接着提出了多种高效率的迭代算法，尽可能利用低精度的数据格式来获得更高的性能。最后，设计了一个求解大型稀疏线性方程组的数值算法库XHYPRE。实验证明XHYPRE库有效的提高了数值计算的精度和效率，并且所提出的XHYPRE库还可以解决HYPRE和PETSc无法解决的病态问题。

主要学术成果

[1] Chuanying Li, Stef Graillat, Zhe Quan, Tong-Xiang Gu, Hao Jiang, Kenli Li.  XHYPRE: a reliable parallel numerical algorithm library for solving large-scale sparse linear equations [J]. CCF Transactions on High Performance Computing, 2023, 5(2): 191-209. (CCF C类, 第一作者)

[2] Chuanying Li, Roberto Barrio, Xiong Xiao, Peibing Du, Hao Jiang, Zhe Quan, Kenli Li. PACF: A precision-adjustable computational framework for solving singular values[J]. Applied Mathematics and Computation, 2023, 440: 127611. (SCI 1区, 第一作者)

[3] Chuanying Li, Peibing Du, Kuan Li, Yu Liu, Hao Jiang, Zhe Quan. Accurate goertzel algorithm: error analysis, validations and applications [J]. Mathematics, 2022, 10(11): 1788. (SCI 2区, 第一作者)

[4] Chuanying Li,Xiong Xiao, Peibing Du, Hao Jiang, Roberto Barrio, Zhe Quan, Kenli Li. A high-precision dqds algorithm[C]. 2021 IEEE 23rd Int Conf on High Performance Computing \& Communications(HPCC), 2021: 633-639. (CCF C类, 第一作者)